剛體運動力學03 剛體平移運動方程式(Translational Equations of Motion)

前言

在上一篇剛體運動力學02中，我們推導了描述旋轉的尤拉運動方程式。本篇將補齊剛體動力學的另一半拼圖——平移運動方程式。

雖然牛頓第二運動定律 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 看似簡單，但在飛彈或飛行載具的控制中，感測器（如加速規）與致動器（如引擎推力、翼面氣動力）都是定義在 跟隨機體旋轉的體軸坐標系 ($R_{br}$) 上。因此，我們必須將慣性坐標系下的運動定律，透過坐標轉換與向量微分法則，轉換至旋轉坐標系中描述。

基礎定律與坐標轉換

根據牛頓第二運動定律，剛體質心（CG）的運動方程式為： \(\sum \mathbf{f}_i = M_m \mathbf{a}_c = M_m \mathbf{\dot v}_c \tag{1}\)

其中：

• $\sum \mathbf{f}_i$：施加在質心上的合外力（在世界坐標 $R_0$ 下定義）。
• $M_m$：剛體總質量。
• $\mathbf{v}_c$：質心在世界坐標 $R_0$ 下的線速度。

由於剛體的受力（如氣動力、推力）通常是根據 體軸坐標 ($R_{br}$) 來定義的，我們很難直接在固定坐標 $R_0$ 下分析受力。因此，我們將式 (1) 左乘旋轉矩陣 \(\mathbf{R}_0^{br}\)（即從 $R_0$ 轉到 $R_{br}$ 的矩陣）：

\[\mathbf{R}_0^{br} \sum \mathbf{f}_i = M_m \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{\dot v}_c\]

定義 $\sum \mathbf{f}_{br,i} = \mathbf{R}_0^{br} \sum \mathbf{f}_i$ 為體軸坐標下的合力，則：

\[\sum \mathbf{f}_{br,i} = M_m (\mathbf{R}_0^{br} \mathbf{\dot v}_c) \tag{2}\]

關鍵定義： 定義 \(\mathbf{\dot v}_{0,c,br}\) 為「在 $R_0$ 視角下，轉換到 $R_{br}$ 各軸向的平移直線加速度」：

\[\mathbf{\dot v}_{0,c,br} \equiv \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{\dot v}_c\]

注意：\(\mathbf{\dot v}_{0,c,br}\) 不等於 \(\mathbf{\dot v}_{c,br}\)（體軸速度的直接微分）。 因為在對 $R_0$ 中的向量進行微分時，不僅包含該向量在 $R_{br}$ 中的大小變化（\(\mathbf{\dot v}_{c,br}\)），還必須包含 $R_{br}$ 坐標系本身的方向變化（旋轉效應）。

旋轉坐標系下的加速度推導

為了找出 \(\mathbf{\dot v}_{0,c,br}\) 的展開式，我們引用向量微分的 傳輸定理 (Transport Theorem)。 對於任一向量 $\mathbf{z}$，其在慣性坐標下的微分 $\mathbf{\dot z}_0$ 與旋轉坐標下的微分 $\mathbf{\dot z}_b$ 關係為：

\[\mathbf{\dot z}_0 = \mathbf{\dot z}_b + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{z}_b\]

將此概念應用於速度向量 $\mathbf{v}$。我們希望求得的是 $\mathbf{R}_0^{br} \mathbf{\dot v}_c$。 根據推導（詳見論文附錄 A.11 與 B.6），加速度轉換關係式為：

\[\mathbf{\dot v}_{0,c,br} = \mathbf{\dot v}_{c,br} + \mathbf{\omega}_{c,br} \times \mathbf{v}_{c,br} \tag{3}\]

其中：

• $\mathbf{v}_{c,br}$：體軸坐標下的速度向量（即機身速度 $u, v, w$）。
• $\mathbf{\dot v}_{c,br}$：體軸速度對時間的微分。
• $\mathbf{\omega}_{c,br}$：剛體的角速度向量（在體軸下表示）。
• $\times$：向量外積。

將式 (3) 代回式 (2)，可得： \(\sum \mathbf{f}_{br,i} = M_m (\mathbf{\dot v}_{c,br} + \mathbf{\omega}_{c,br} \times \mathbf{v}_{c,br}) \tag{4}\)

這就是包含 科氏力 (Coriolis force) 效應的平移運動方程式。

剛體平移運動方程式 (Translational Equations)

為了便於數值模擬與控制設計，我們通常需要求出 \(\mathbf{\dot v}_{c,br}\)（機身加速度）。 將式 (4) 移項整理，並引入反對稱矩陣符號 \([\mathbf{\omega}_{c,br} \times]\) 來表示外積：

\[\mathbf{\dot v}_{c,br} = \frac{1}{M_m} \sum \mathbf{f}_{br,i} - [\mathbf{\omega}_{c,br} \times] \mathbf{v}_{c,br} \tag{5}\]

加入重力項： 上述推導中的 \(\sum \mathbf{f}_{br,i}\) 包含了氣動力與推力，但通常將重力 $\mathbf{g}$ 獨立出來寫。 重力在世界坐標 $R_0$ 下為定值向量 $\mathbf{g}0$（例如指向地心）。轉換到體軸 $R{br}$ 下為：

\[\mathbf{g}_{br} = \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{g}_0\]

將重力加速度加入式 (5)，得到最終的 剛體平移運動方程式：

\[\mathbf{\dot v}_{c,br} = \frac{\sum \mathbf{f}_{br,i}}{M_m} - [\mathbf{\omega}_{c,br} \times] \mathbf{v}_{c,br} + \mathbf{g}_{br} \tag{6}\]

展開形式 (Component Form)

將式 (6) 展開為矩陣形式，這也是撰寫模擬程式（如 MATLAB/Simulink）時最常用的形式：

\[\begin{bmatrix} \dot v_x \\ \dot v_y \\ \dot v_z \end{bmatrix}_{br} = \frac{1}{M_m} \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}_{br} + \begin{bmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{bmatrix}_{br} \tag{7}\]

其中：

• $v_x, v_y, v_z$：機體座標系下的速度分量（如前向、側向、垂直速度）。
• $F_x, F_y, F_z$：機體座標系下的外力總和（推力 + 空氣動力）。
• $\omega_x, \omega_y, \omega_z$：機體角速度（滾轉、俯仰、偏航速率）。
• $g_x, g_y, g_z$：重力向量在機體座標軸上的分量（隨姿態改變）。

重力項的計算： 若定義世界坐標 $R_0$ 的 $Y_0$ 軸垂直向上，重力方向為 $-Y_0$，則 \(\mathbf{g}_0 = [0, -g, 0]^T\)。 利用姿態四元數 $\mathbf{q}$ 計算旋轉矩陣 $\mathbf{R}(\mathbf{q})$（即 $\mathbf{R}_{br}^0$），則：

\[\mathbf{g}_{br} = (\mathbf{R}_{br}^0)^T \mathbf{g}_0\]

這也是為何在飛彈導引與控制中，姿態解算（Attitude determination）對於位置估測如此重要的原因，因為姿態決定了重力如何分量到機身各軸，進而影響速度的積分。

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. R. C. Hibbeler and K. B. Yap, Engineering Mechanics: Dynamics, 14th ed., 2017.
3. 楊憲東，自動飛行控制: 原理與實務，全華圖書，2002。