剛體運動力學01 動力學坐標、動量與慣量矩陣

前言

在完成了剛體姿態運動學（Kinematics）的探討後，我們了解了如何描述剛體在空間中的旋轉與位置。接下來將進入 剛體運動力學（Kinetics） 的範疇，探討力（Force）與力矩（Moment）如何影響剛體的運動。

本篇將根據論文附錄 B 的內容，建立動力學所需的坐標系統，並從微觀的質量點出發，推導剛體的線動量、角動量以及慣量矩陣的定義。

剛體動力學坐標系統

首先定義坐標系，如圖 1 所示：

• 世界坐標系（World Coordinate, $R_0$）：以 $O_0$ 為原點，坐標軸為 $(X_0, Y_0, Z_0)$，視為慣性參考坐標。
• 剛體坐標系（Body Coordinate, $R_{br}$）：定義在剛體內部任意一點 $O_{br}$ 上，坐標軸為 $(X_{br}, Y_{br}, Z_{br})$，隨剛體運動。

需注意的是，為了推導通式，我們假設參考點 $O_{br}$ 不一定 位於剛體的 質心（Center of Gravity, CG）。

定義自由向量：

• \(\mathbf{r}_c\)：從 $O_{br}$ 指向質心 CG 的向量。
• \(\mathbf{r}_i\)：從 $O_{br}$ 指向剛體內任意微小質量點 $dm_i$ 的向量。

圖1、剛體動力學坐標系示意圖

根據質心的定義，$\mathbf{r}_c$ 可由所有質量點的位置加權平均取得：

\[\mathbf{r}_c = \frac{\sum_{i=1}^{\infty} dm_i \mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{\infty} dm_i} = \frac{\int \mathbf{r} dm}{\int dm} = \frac{\int \mathbf{r} dm}{M_m}\]

其中 $M_m$ 為剛體總質量。由此可得動力學推導中極為重要的一個積分性質：

\[\int \mathbf{r} dm = M_m \mathbf{r}_c \tag{1}\]

特殊情況： 若我們選擇參考點 $O_{br}$ 剛好重合於質心 CG，則 $\mathbf{r}_c = \mathbf{0}$，代入上式可得 $\int \mathbf{r} dm = \mathbf{0}$。

剛體的線動量（Linear Momentum）

在 $R_0$ 坐標中，定義 \(\mathbf{v}_o\) 為參考點 $O_{br}$ 的線速度，$\mathbf{\omega}_o$ 為剛體在 $R_0$ 中的角速度向量。 根據剛體運動學，剛體內任意點 $i$ 的速度 $\mathbf{v}_i$ 可表示為：

\[\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_o + \mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}_i\]

若取 $\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_c$，則可得質心 CG 的速度 $\mathbf{v}_c$：

\[\mathbf{v}_c = \mathbf{v}_o + \mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}_c\]

剛體的總線動量 $\mathbf{p}$ 定義為所有微小質量動量的總和，對其進行積分推導：

\[\begin{aligned} \mathbf{p} &= \sum_{i=1}^{\infty} dm_i \mathbf{v}_i \\ &= \int \mathbf{v}_i dm \\ &= \int (\mathbf{v}_o + \mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm \\ &= \mathbf{v}_o \int dm + \mathbf{\omega}_o \times \int \mathbf{r} dm \end{aligned}\]

利用式 (1) $\int \mathbf{r} dm = M_m \mathbf{r}_c$ 的性質代入：

\[\begin{aligned} \mathbf{p} &= \mathbf{v}_o M_m + \mathbf{\omega}_o \times (M_m \mathbf{r}_c) \\ &= M_m (\mathbf{v}_o + \mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}_c) \end{aligned}\]

由於括號內即為質心速度 $\mathbf{v}_c$，故可得線動量公式：

\[\mathbf{p} = M_m \mathbf{v}_c \tag{2}\]

由此可知，無論參考點 $O_{br}$ 選在哪裡，剛體的總線動量 $\mathbf{p}$ 永遠等於總質量乘以質心速度。

剛體的角動量（Angular Momentum）

剛體對於參考點 $O_{br}$ 的角動量 $\mathbf{h}$，定義為相對位置 $\mathbf{r}$ 與動量 $\mathbf{p}$ 的外積總和：

\[\begin{aligned} \mathbf{h} &= \sum_{i=1}^{\infty} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \\ &= \int \mathbf{r} \times \mathbf{v}_i dm \\ &= \int \mathbf{r} \times (\mathbf{v}_o + \mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm \end{aligned}\]

利用外積的分配律展開積分：

\[\mathbf{h} = \int (\mathbf{r} \times \mathbf{v}_o) dm + \int \mathbf{r} \times (\mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm\]

由於 $\mathbf{v}_o$ 與積分變數無關，可提出積分外：

\[\mathbf{h} = \left( \int \mathbf{r} dm \right) \times \mathbf{v}_o + \int \mathbf{r} \times (\mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm\]

利用 $\int \mathbf{r} dm = M_m \mathbf{r}_c$，以及外積交換律 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$，整理第一項：

\[\mathbf{h} = - \mathbf{v}_o \times (M_m \mathbf{r}_c) + \int \mathbf{r} \times (\mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm \tag{3}\]

特殊情況簡化： 若滿足以下任一條件：

1. 參考點 $O_{br}$ 固定不動（$\mathbf{v}_o = \mathbf{0}$）。
2. 參考點 $O_{br}$ 位於質心 CG（$\mathbf{r}_c = \mathbf{0}$）。

則式 (3) 第一項消失，角動量可簡化為：

\[\mathbf{h} = \int \mathbf{r} \times (\mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) dm \tag{4}\]

慣量矩陣（Inertia Matrix）

為了將角動量式 (4) 寫成矩陣形式，我們利用向量恆等式 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}\times]\mathbf{b}$，其中 $[\mathbf{a}\times]$ 為反對稱矩陣（Skew-symmetric matrix）。

向量三重積可轉換如下：

\[\begin{aligned} \mathbf{r} \times (\mathbf{\omega}_o \times \mathbf{r}) &= - \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{\omega}_o) \\ &= - [\mathbf{r}\times] [\mathbf{r}\times] \mathbf{\omega}_o \end{aligned}\]

將此代回式 (4)：

\[\mathbf{h} = \left( - \int [\mathbf{r}\times][\mathbf{r}\times] dm \right) \mathbf{\omega}_o\]

定義括號內的積分項為 慣量矩陣（Inertia Matrix, $\mathbf{I}_0$）：

\[\mathbf{I}_0 = - \int [\mathbf{r}\times][\mathbf{r}\times] dm \tag{5}\]

因此，若參考點為質心或固定點，角動量可簡潔地表示為：

\[\mathbf{h} = \mathbf{I}_0 \mathbf{\omega}_o\]

慣量矩陣的坐標轉換： 上述推導出的 $\mathbf{I}_0$ 是在 $R_0$ 坐標系下描述的向量 $\mathbf{r}$ 所積分出來的，其數值會隨著剛體旋轉而改變（因為 $\mathbf{r}$ 在 $R_0$ 中不斷變化）。為了得到常數形式的慣量矩陣，我們需要將其轉換到跟隨剛體旋轉的 體軸坐標系 ($R_{br}$)。

利用旋轉矩陣 \(\mathbf{R}_0^{br}\) 將 $R_0$ 的向量轉換至 $R_{br}$：

\[(\mathbf{I}_0 \mathbf{\omega}_o)_{br} = \mathbf{R}_0^{br} (\mathbf{I}_0 \mathbf{\omega}_o)\]

插入單位矩陣 $\mathbf{I} = (\mathbf{R}_0^{br})^T \mathbf{R}_0^{br}$：

\[\begin{aligned} (\mathbf{I}_0 \mathbf{\omega}_o)_{br} &= \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{I}_0 \left[ (\mathbf{R}_0^{br})^T \mathbf{R}_0^{br} \right] \mathbf{\omega}_o \\ &= \left( \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{I}_0 (\mathbf{R}_0^{br})^T \right) (\mathbf{R}_0^{br} \mathbf{\omega}_o) \\ &= \mathbf{I}_{br} \mathbf{\omega}_{br} \end{aligned}\]

其中 體軸慣量矩陣 $\mathbf{I}_{br}$ 定義為：

\[\mathbf{I}_{br} = \mathbf{R}_0^{br} \mathbf{I}_0 (\mathbf{R}_0^{br})^T\]

展開後可得慣量張量的形式：

\[\mathbf{I}_{br} = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix}\]

主軸（Principal Axes）： 若選取的剛體坐標軸恰好為剛體的 主軸，則慣量積項（非對角線元素）為零，慣量矩陣簡化為對角矩陣：

\[\mathbf{I}_{br} = \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix}\]

這對於後續推導運動方程式（Euler’s Equations）將帶來極大的便利。

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. R. C. Hibbeler and K. B. Yap, Engineering Mechanics: Dynamics, 14th ed., 2017.
3. 黃安橋，剛體動力學筆記，國立臺灣科技大學，2020。