空氣動力學06 飛彈整體氣動力與力矩係數(含翼面偏轉)

前言

在前面的章節中，我們探討了單一機翼的受力原理。現在，我們將視角擴大到整顆飛彈（或飛行載具）。飛彈在飛行時，其彈身、彈翼與尾翼共同作用，產生複雜的合力與力矩。本篇將定義體軸坐標系下的氣動力分量，並詳細推導如何從基本的物理變數（速度、角速度）逐步展開成包含 攻角 與 機翼偏轉（Fin Deflection） 的完整線性參數模型。

機體的合力與合力矩 (未考慮機翼偏轉)

考慮在彈體坐標系 $R_b$ 中的飛彈，其受力定義如圖 1 所示：

• 阻力 (Drag Force, $F_D$)：與 $X_b$ 軸方向相反的力。
• 升力 (Lift Force, $F_L$)：與 $Y_b$ 軸同向的力。
• 側力 (Side Force, $F_S$)：與 $Z_b$ 軸同向的力。
• 噴射力 (Thrust, $F_T$)：與 $X_b$ 軸同向的引擎推力。

圖 1、各個氣動力的名稱定義

這些氣動力可使用無因次係數表示： \(\begin{aligned} F_L &= q_\infty s_\infty c_L \\ F_D &= q_\infty s_\infty c_D \\ F_S &= q_\infty s_\infty c_S \end{aligned} \tag{1}\)

其中 $q_\infty$ 為整體機體的動壓，$s_\infty$ 為最大翼面面積（或最大截面積）。

氣動力係數的線性化展開

係數 $c_L, c_D, c_S$ 並非定值，而是與飛彈的運動狀態有關。

第一階段：基於速度與角速度的展開

假設彈體坐標 $R_b$ 各軸向的直線速度為 $v_x, v_y, v_z$，角速度為 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$。若呈現線性系統模式，係數可展開如下：

\[\begin{aligned} c_L &= c_L^{v_x}v_x + c_L^{v_y}v_y + c_L^{v_z}v_z + c_L^{\omega_x}\omega_x + c_L^{\omega_y}\omega_y + c_L^{\omega_z}\omega_z \\ c_D &= c_D^{v_x}v_x + c_D^{v_y}v_y + c_D^{v_z}v_z + c_D^{\omega_x}\omega_x + c_D^{\omega_y}\omega_y + c_D^{\omega_z}\omega_z \\ c_S &= c_S^{v_x}v_x + c_S^{v_y}v_y + c_S^{v_z}v_z + c_S^{\omega_x}\omega_x + c_S^{\omega_y}\omega_y + c_S^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{2}\]

其中 $c_L^{v_x}$ 等係數為各變數對應的未知係數（上標代表對應變數，非指數），且皆與雷諾數及馬赫數有關。

第二階段：引入攻角 ($\alpha$)

為了更符合空氣動力學慣例，我們將速度分量轉換為攻角。定義機體移動速度為 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}_b + v_y \mathbf{j}_b + v_z \mathbf{k}_b$，則：

• 整體攻角 $\alpha_m$：$X_b$ 軸與 $\mathbf{v}$ 的夾角。
• 俯仰攻角 $\alpha_y$ (A-view)：$\mathbf{v}$ 投影到 $X_b-Y_b$ 平面與 $X_b$ 的夾角，定義為 $\alpha_y = -\tan^{-1}(v_y/v_x)$。
• 偏航攻角 $\alpha_z$ (B-view)：$\mathbf{v}$ 投影到 $X_b-Z_b$ 平面與 $X_b$ 的夾角，定義為 $\alpha_z = -\tan^{-1}(v_z/v_x)$。

由於 $\alpha_y$ 與 $\alpha_z$ 包含了 $v_x, v_y, v_z$ 的資訊，可將式 (2) 改寫為： \(\begin{aligned} c_L &= c_{L0} + c_L^{\alpha_y}\alpha_y + c_L^{\alpha_z}\alpha_z + c_L^{\omega_x}\omega_x + c_L^{\omega_y}\omega_y + c_L^{\omega_z}\omega_z \\ c_D &= c_{D0} + c_D^{\alpha_y}\alpha_y + c_D^{\alpha_z}\alpha_z + c_D^{\omega_x}\omega_x + c_D^{\omega_y}\omega_y + c_D^{\omega_z}\omega_z \\ c_S &= c_{S0} + c_S^{\alpha_y}\alpha_y + c_S^{\alpha_z}\alpha_z + c_S^{\omega_x}\omega_x + c_S^{\omega_y}\omega_y + c_S^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{3}\)

其中 $c_{L0}$ 等為攻角為零時的基礎值。

第三階段：引入攻角微分項 ($\dot{\alpha}$)

考慮流體慣性與延遲效應，許多研究將攻角的微分項也納入考量，得到更完整的展開式： \(\begin{aligned} c_L &= c_{L0} + c_L^{\alpha_y}\alpha_y + c_L^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_L^{\alpha_z}\alpha_z + c_L^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_L^{\omega_x}\omega_x + c_L^{\omega_y}\omega_y + c_L^{\omega_z}\omega_z \\ c_D &= c_{D0} + c_D^{\alpha_y}\alpha_y + c_D^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_D^{\alpha_z}\alpha_z + c_D^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_D^{\omega_x}\omega_x + c_D^{\omega_y}\omega_y + c_D^{\omega_z}\omega_z \\ c_S &= c_{S0} + c_S^{\alpha_y}\alpha_y + c_S^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_S^{\alpha_z}\alpha_z + c_S^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_S^{\omega_x}\omega_x + c_S^{\omega_y}\omega_y + c_S^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{4}\)

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機體的力矩係數

定義機體各軸向的氣動力矩為 $M_x$（滾轉）、$M_y$（俯仰）、$M_z$（偏航）。 \(\begin{aligned} M_x &= q_\infty s_\infty l_{ref} c_{Mx} \\ M_y &= q_\infty s_\infty l_{ref} c_{My} \\ M_z &= q_\infty s_\infty l_{ref} c_{Mz} \end{aligned} \tag{5}\)

其中 $l_{ref}$ 為參考長度（如彈徑或翼長線）。力矩係數同樣展開為狀態變數的線性組合：

\[\begin{aligned} c_{Mx} &= c_{Mx,0} + c_{Mx}^{\alpha_y}\alpha_y + c_{Mx}^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_{Mx}^{\alpha_z}\alpha_z + c_{Mx}^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_{Mx}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mx}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mx}^{\omega_z}\omega_z \\ c_{My} &= c_{My,0} + c_{My}^{\alpha_y}\alpha_y + c_{My}^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_{My}^{\alpha_z}\alpha_z + c_{My}^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_{My}^{\omega_x}\omega_x + c_{My}^{\omega_y}\omega_y + c_{My}^{\omega_z}\omega_z \\ c_{Mz} &= c_{Mz,0} + c_{Mz}^{\alpha_y}\alpha_y + c_{Mz}^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_{Mz}^{\alpha_z}\alpha_z + c_{Mz}^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_{Mz}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mz}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mz}^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{6}\]

係數的簡化與物理意義

上述展開式包含項次過多，根據飛彈的對稱外型與物理特性，許多項次可以忽略。

範例一：角速度阻尼項的重要性 考慮僅有尾翼的飛彈。當飛彈具有角速度 $\omega_y$ 時，尾翼處會產生切線速度 $V_{\omega t} = \omega_y \ell_t$（$\ell_t$ 為質心到尾翼壓力中心的距離）。這會造成額外的攻角 $\alpha_{addition}$，導致升力 $F_L$ 與力矩 $M_y$ 變化。因此，係數 $c_L^{\omega_y}$ 與 $c_{My}^{\omega_y}$ 為重要項目，必須保留。

範例二：滾轉力矩的對稱性 對於對稱飛彈，當整體攻角不為零（$\alpha_m \neq 0$）時，雖然上下左右機翼受力不均（例如下方機翼受力 $F_4$ 大於上方 $F_3$），但其對滾轉軸（$X_b$）產生的力矩往往互相抵銷或維持不變。因此，與攻角相關的滾轉係數（如 $c_{Mx}^{\alpha_y}, c_{Mx}^{\dot{\alpha}y}, c{Mx}^{\alpha_z}, c_{Mx}^{\dot{\alpha}_z}$）通常可忽略。

簡化後的模型 (本文採用)： 根據上述分析，可將式 (4) 與 (6) 簡化為：

合力係數： \(\begin{aligned} c_L &= c_{L0} + c_L^{\alpha_z}\alpha_z + c_L^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_L^{\omega_y}\omega_y \\ c_D &= c_{D0} + c_D^{\alpha_y}\alpha_y + c_D^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_D^{\alpha_z}\alpha_z + c_D^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z \\ c_S &= c_{S0} + c_S^{\alpha_y}\alpha_y + c_S^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_S^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{7}\)

力矩係數： \(\begin{aligned} c_{Mx} &= c_{Mx,0} + c_{Mx}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mx}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mx}^{\omega_z}\omega_z \\ c_{My} &= c_{My,0} + c_{My}^{\alpha_z}\alpha_z + c_{My}^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_{My}^{\omega_x}\omega_x + c_{My}^{\omega_y}\omega_y + c_{My}^{\omega_z}\omega_z \\ c_{Mz} &= c_{Mz,0} + c_{Mz}^{\alpha_y}\alpha_y + c_{Mz}^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_{Mz}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mz}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mz}^{\omega_z}\omega_z \end{aligned} \tag{8}\)

考慮機翼偏轉 (Fin Deflection) 的氣動力模型

為了控制飛彈姿態，必須偏轉控制翼面。定義偏轉角如下（如圖 2）：

• $\delta_x$ (Roll)：控制滾轉。對稱機翼一正一負偏轉。
• $\delta_y$ (Pitch)：控制俯仰。對稱機翼同步偏轉。
• $\delta_z$ (Yaw)：控制偏航。對稱機翼同步偏轉。

圖 2、各機翼(彈翼)的偏轉角定義

將偏轉角係數 $c_{}^{\delta_{}}$ 加入上述模型 (7) 與 (8)，得到最終的 完整氣動力係數向量 $\mathbf{c}_F$：

\[\mathbf{c}_F = \begin{bmatrix} c_{L0} + c_L^{\alpha_z}\alpha_z + c_L^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_L^{\omega_y}\omega_y + \mathbf{c_L^{\delta_y}\delta_y + c_L^{\delta_z}\delta_z} \\ c_{D0} + c_D^{\alpha_y}\alpha_y + c_D^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_D^{\alpha_z}\alpha_z + c_D^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + \mathbf{c_D^{\delta_x}\delta_x + c_D^{\delta_y}\delta_y + c_D^{\delta_z}\delta_z} \\ c_{S0} + c_S^{\alpha_y}\alpha_y + c_S^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_S^{\omega_z}\omega_z + \mathbf{c_S^{\delta_y}\delta_y + c_S^{\delta_z}\delta_z} \end{bmatrix} \tag{9}\]

以及 完整氣動力矩係數向量 $\mathbf{c}_M$：

\[\mathbf{c}_M = \begin{bmatrix} c_{Mx,0} + c_{Mx}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mx}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mx}^{\omega_z}\omega_z + \mathbf{c_{Mx}^{\delta_x}\delta_x} \\ c_{My,0} + c_{My}^{\alpha_z}\alpha_z + c_{My}^{\dot{\alpha}_z}\dot{\alpha}_z + c_{My}^{\omega_x}\omega_x + c_{My}^{\omega_y}\omega_y + c_{My}^{\omega_z}\omega_z + \mathbf{c_{My}^{\delta_y}\delta_y} \\ c_{Mz,0} + c_{Mz}^{\alpha_y}\alpha_y + c_{Mz}^{\dot{\alpha}_y}\dot{\alpha}_y + c_{Mz}^{\omega_x}\omega_x + c_{Mz}^{\omega_y}\omega_y + c_{Mz}^{\omega_z}\omega_z + \mathbf{c_{Mz}^{\delta_z}\delta_z} \end{bmatrix} \tag{10}\]

最終的力與力矩計算公式整理為矩陣形式： \(\begin{bmatrix} F_L \\ F_D \\ F_S \end{bmatrix} = q_\infty s_\infty \mathbf{c}_F \tag{11}\) \(\begin{bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_z \end{bmatrix} = q_\infty s_\infty l_{ref} \mathbf{c}_M \tag{12}\)

這組公式是飛彈飛行模擬與控制器設計的核心模型。其中氣動力係數可包含兩個以上的偏轉角影響（例如 $c_L$ 受 $\delta_y, \delta_z$ 影響），而力矩係數通常設計為每個偏轉角主要對應一個力矩係數。

空氣動力係數的特性與限制

在應用上述模型時，必須注意以下限制：

1. 不確定性 (Uncertainty)： 實際氣動力係數極難精確取得。工程上常使用 Datcom 軟體查表或線性預測，但與真實飛行狀況仍有誤差。因此控制器設計必須具備強健性或適應性。

2. 失速 (Stall) 與非線性： 上述線性模型僅在一定攻角範圍內有效。當攻角超過 極限攻角 $\alpha_{L,max}$ 時，氣流會剝離導致升力驟降（失速），進入高度非線性區域。

   • 馬赫數影響：$\alpha_{L,max}$ 通常與馬赫數成反比。速度越快（超音速），能容許的最大攻角通常越小（如圖 3 所示）。

圖 3、不同馬赫數對應的最大極限攻角示意圖

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. Y. Xia, Z. Zhu, and M. Fu, “Backstepping sliding mode control for missile systems based on an extended state observer,” IET Control Theory & Applications, 2011.
3. J. J. Bertin and M. L. Smith, Aerodynamics for Engineers, 5th ed., Prentice Hall, 2009.