空氣動力學05 機翼參數與單翼氣動力係數推導

前言

在探討飛彈整體的氣動力之前，必須先理解單一機翼(Airfoil)的受力機制。大部分飛行載具都設有機翼以操控飛行，其表面的壓力分佈產生了升力、阻力與力矩。本篇將先定義機翼的幾何參數，接著利用 因次分析(Dimensional Analysis)，從基本的物理量(密度、速度、黏滯係數等)推導出著名的氣動力係數公式。

機翼參數定義 (Wing Parameters)

圖 1 展示了機翼剖面的相關參數定義：

• 前緣 (Leading Edge)：機翼的最前端。
• 尾部 (Trailing Edge)：機翼的最後端。
• 翼長線 (Chord Line, $c_a$)：連接前緣與尾部的直線，通常為翼剖面最長的直線。
• 平均弧線 (Mean Camber Line)：若機翼彎曲，取上下表面的中心連線。
• 攻角 (Angle of Attack, $\alpha_a$)：相對風(Relative Wind)方向與翼長線 $c_a$ 之間的夾角。
• 重心 (Center of Gravity, cg)：在翼長線上重力作用的點。
• 壓力中心 (Center of Pressure, cp)：氣動力(Aerodynamics forces, $F_a$)作用在翼長線上的等效作用點。
  圖 1、機翼相關參數示意圖

力矩的產生： 除了升力與阻力，機翼表面的壓力與剪應力分佈不均會產生力矩(Moment)。如圖 2 所示，若將翼長線上方壓力的合力視為 $F_1$，下方合力視為 $F_2$。雖然升力約等於 $F_2 - F_1$，但因兩力作用點不同，會對參考點(通常取 cg)產生力矩。
圖 2、單機翼力矩來源示意圖

圖 3、最後整台飛行載具的合力

單機翼氣動力與力矩係數推導

為了推導通用的氣動力公式，我們使用 因次分析法。首先定義相關的物理參數：

1. 空氣自由流速 ($v_\infty$)：Free-stream velocity。
2. 空氣自由流密度 ($\rho_\infty$)：Free-stream density。
3. 氣動力表面面積 ($s_\infty$)：Aerodynamics surface，通常指翼面積。
4. 空氣黏滯係數 ($\mu_\infty$)：Viscosity。
5. 音速 ($a_\infty$)：代表氣體的壓縮性(與馬赫數有關)。

1. 升力係數 ($c_l$) 推導

假設在固定機翼形狀與固定攻角下，升力 $F_l$ 是上述參數的函數： \(F_l = f_l(v_\infty, \rho_\infty, s_\infty, \mu_\infty, a_\infty) \tag{1}\)

為了簡化，假設其為指數乘積形式，並引入係數 $z_l$： \(F_l = z_l v_\infty^a \rho_\infty^b s_\infty^d a_\infty^e \mu_\infty^f \tag{2}\)

因次分析 (MLT 系統)： 將各變數的因次(質量 M、長度 L、時間 T)代入：

• 力 $F_l \doteq MLT^{-2}$
• 速度 $v, a \doteq LT^{-1}$
• 密度 $\rho \doteq ML^{-3}$
• 面積 $s \doteq L^2$
• 黏滯係數 $\mu \doteq ML^{-1}T^{-1}$

代入式 (2)： \(\frac{ML}{T^2} = \left(\frac{L}{T}\right)^a \left(\frac{M}{L^3}\right)^b (L^2)^d \left(\frac{L}{T}\right)^e \left(\frac{M}{LT}\right)^f \tag{3}\)

整理各因次的指數方程式：

• For M: $1 = b + f$
• For L: $1 = a - 3b + 2d + e - f$
• For T: $-2 = -a - e - f$

由於有 5 個未知數 ($a, b, d, e, f$) 但只有 3 條方程式，我們將 $a, b, d$ 用 $e, f$ 表示： \(\begin{cases} b = 1 - f \\ a = 2 - e - f \\ d = 1 - f/2 \end{cases} \tag{4}\)

將 (4) 代回 (2)： \(F_l = z_l v_\infty^{2 - e - f} \rho_\infty^{1 - f} s_\infty^{1 - f/2} a_\infty^e \mu_\infty^f\)

整理同指數項： \(F_l = z_l \rho_\infty v_\infty^2 s_\infty \left( \frac{a_\infty}{v_\infty} \right)^e \left( \frac{\mu_\infty}{\rho_\infty v_\infty s_\infty^{1/2}} \right)^f \tag{5}\)

引入無因次參數：

• 馬赫數 (Mach Number)：$\text{Ma} = v_\infty / a_\infty$。故第一項括號為 $(1/\text{Ma})^e$。
• 雷諾數 (Reynolds Number)：參考長度取翼長線 $c_a$(因次同 $s_\infty^{1/2}$)，則 $\text{Re} = \rho_\infty v_\infty c_a / \mu_\infty$。故第二項括號為 $(1/\text{Re})^f$。

整理後得： \(F_l = z_l \rho_\infty v_\infty^2 s_\infty \left( \frac{1}{\text{Ma}} \right)^e \left( \frac{1}{\text{Re}} \right)^f \tag{6}\)

定義 單機翼升力係數 ($c_l$) 包含所有無因次項與係數： \(\frac{c_l}{2} \equiv z_l \left( \frac{1}{\text{Ma}} \right)^e \left( \frac{1}{\text{Re}} \right)^f \tag{7}\)

代回 (6) 並引入 動壓 (Dynamic Pressure, $q_\infty = \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2$)： \(F_l = \frac{1}{2} \rho_\infty v_\infty^2 s_\infty c_l = q_\infty s_\infty c_l \tag{8}\)

這就是著名的升力公式。它表明升力係數 $c_l$ 是一個與雷諾數、馬赫數以及攻角有關的函數： \(c_l = f_{cl}(\alpha_\infty, \text{Ma}, \text{Re}) \tag{9}\)

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2. 阻力係數 ($c_d$) 推導

阻力 $F_d$ 的推導邏輯與升力完全相同，可得： \(\begin{aligned} F_d &= q_\infty s_\infty c_d \\ c_d &= f_{cd}(\alpha_\infty, \text{Ma}, \text{Re}) \end{aligned} \tag{10}\)

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3. 力矩係數 ($c_m$) 推導

力矩 $M_o$ 的因次是「力 $\times$ 力臂」。由於力臂長度通常取翼長線 $c_a$，因此假設函數時需加入 $c_a$： \(M_o = z_m c_a v_\infty^a \rho_\infty^b s_\infty^d \mu_\infty^e a_\infty^f \tag{11}\)

經過相同的因次分析推導，可得力矩公式： \(\begin{aligned} M_o &= q_\infty s_\infty c_a c_m \\ c_m &= f_{cm}(\alpha_\infty, \text{Ma}, \text{Re}) \end{aligned} \tag{12}\)

其中 $c_m$ 為無因次力矩係數。

氣動力係數的線性化

通常機翼設計會使氣動力係數與攻角在一定範圍內呈現 線性關係(如圖 4 所示)。因此，文獻常將係數寫成線性方程式：

\[\begin{aligned} c_l &= c_{l0}(\text{Ma}, \text{Re}) + c_{l\alpha}(\text{Ma}, \text{Re})\alpha_\infty \\ c_d &= c_{d0}(\text{Ma}, \text{Re}) + c_{d\alpha}(\text{Ma}, \text{Re})\alpha_\infty \\ c_m &= c_{m0}(\text{Ma}, \text{Re}) + c_{m\alpha}(\text{Ma}, \text{Re})\alpha_\infty \end{aligned} \tag{13}\]

其中：

• $c_{l0}, c_{d0}, c_{m0}$：攻角為零時的基本係數。
• $c_{l\alpha}, c_{d\alpha}, c_{m\alpha}$：攻角係數(斜率)。

失速 (Stall)： 當攻角超過 極限有效升力攻角 ($\alpha_{l,\max}$) 時，升力係數會達到極限並開始下降(呈現非線性)，這是因為氣流從層流轉變為亂流所致，稱為失速現象。

圖 4、攻角與升力係數的關係示意圖

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. D. F. Young, B. R. Munson, T. H. Okiishi, and W. W. Huebsch, Introduction to Fluid Mechanics, 5th ed., Wiley, 2012.
3. J. D. Anderson, Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.