空氣動力學04 可壓縮流、熱力學與馬赫數推導

前言

在低速流體中，我們常假設流體是不可壓縮的（密度不變）。但在高速飛行（如飛彈）的領域中,空氣的壓縮性不可忽視。為了描述這種特性，我們必須引入 熱力學（Thermodynamics） 的概念。本篇將從質量守恆出發，結合熱力學第一定律，推導出等熵流體的性質，並最終證明音速 $a = \sqrt{\gamma R T}$ 的由來。

流體連續式與壓縮性 (Continuity Equation & Compressibility)

質量流率（Mass Flow Rate） 定義為每單位時間經過某截面積的質量：

\[\dot m_1 = \frac{dm_1}{dt} = \rho_1 A_1 v_1 \tag{1}\]

其中：

• $m_1$：初始狀態質量
• $\rho_1$：初始狀態密度
• $A_1$：初始狀態截面積
• $v_1$：初始狀態流速

根據 質量守恆定律，在穩流流管（Streamtube）中，流入的質量流率必須等於流出的質量流率 ($\dot m_1 = \dot m_2$)，因此可得 連續方程式 (Continuity Equation)：

\[\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 \tag{2}\]

壓縮性定義：

1. 可壓縮流 (Compressible flow)：受壓後密度改變，即 $\rho_1 \neq \rho_2$。
2. 不可壓縮流 (Incompressible flow)：受壓後密度一致，即 $\rho_1 = \rho_2$。此時連續式可簡化為 $A_1 v_1 = A_2 v_2$。

基礎熱力學 (Basic Thermodynamics)

為了推導音速，需回顧熱力學第一定律。考慮單位質量的氣體系統（System），其具有邊界（Boundary）。

• 熱 ($\delta q_t$)：由環境加入系統的能量。
• 功 ($\delta w_t$)：作用在系統上的功。
• 內能 ($e_t$)：系統內分子的總動能。

熱力學第一定律（微分形式）：

\[\delta q_t + \delta w_t = de_t \tag{3}\]

功的推導： 考慮外界壓力 $p_t$ 作用在系統邊界 $A_t$ 上造成位移 $s_t$。 功定義為力乘以位移：$\Delta w_t = (p_t d A_t) s_t$。

系統所受的總功為：

\[\delta w_t = \int_A (p_t dA_t) s_t = p_t \int_A s_t dA_t\]

其中幾何積分項 $\int_A s_t dA_t$ 代表體積變化量。由於壓力是由外向內推，導致體積減少（$dv_t < 0$），故 $\int_A s_t dA_t = -dv_t$。 代入後得：

\[\delta w_t = -p_t dv_t \tag{4}\]

熱力學第一定律（修正版）： 將功代入式 (3)：

\[\delta q_t = de_t + p_t dv_t \tag{5}\]

焓 (Enthalpy)： 定義焓 $h_t$ 為： \(h_t = e_t + p_t v_t = e_t + RT_t \tag{6}\) 對其微分： \(dh_t = de_t + p_t dv_t + v_t dp_t \tag{7}\)

利用焓的形式改寫第一定律： \(\begin{aligned} \delta q_t &= de_t - \delta w_t \\ &= (dh_t - p_t dv_t - v_t dp_t) + p_t dv_t \\ &= dh_t - v_t dp_t \end{aligned} \tag{8}\)

比熱定義 (Specific Heat)

比熱定義為熱量變化與溫度變化的比值：$c_{sh} = \delta q_t / d T_t$。

1. 等容比熱 ($c_v$, Constant Volume) 過程固定體積 ($dv_t = 0$)。由式 (5) 可知 $\delta q_t = d e_t$。 \(c_v = \left( \frac{\delta q_t}{dT_t} \right)_{\rm{constant\ volume}} \Rightarrow de_t = c_v dT_t \tag{9}\)

2. 等壓比熱 ($c_p$, Constant Pressure) 過程固定壓力 ($dp_t = 0$)。由式 (8) 可知 $\delta q_t = d h_t$。 \(c_p = \left( \frac{\delta q_t}{dT_t} \right)_{\rm{constant\ pressure}} \Rightarrow dh_t = c_p dT_t \tag{10}\)

等熵流體 (Isentropic Flow)

若氣流過程同時滿足：

1. 絕熱 (Adiabatic)：無熱交換 ($\delta q_t = 0$)。
2. 可逆 (Reversible)：無摩擦耗損。

則稱為 等熵過程 (Isentropic process)。

以圖舉例，假設氣流運作過程中沒有熱的加入或散失，也就是沒有被加熱、被冷卻或有輻射熱的吸收等等熱交換的機制。且假設氣體與機翼表面所造成的剪應力趨近於零，因此可以直接忽略摩擦力。如此一來，該氣流滿足絕熱以及可逆的假設，符合等熵定義，稱之為等熵流體(isentropic flow)。

將 $\delta q_t = 0$ 代入第一定律的兩種形式：

1. 由 (5) 與 (9)：$-p_t dv_t = c_v dT_t \tag{11}$
2. 由 (8) 與 (10)：$v_t dp_t = c_p dT_t \tag{12}$

兩式相除： \(\frac{-p_t dv_t}{v_t dp_t} = \frac{c_v}{c_p}\)

定義 比熱比 $\gamma_t = c_p / c_v$，整理變數： \(\frac{dp_t}{p_t} = -\gamma_t \frac{dv_t}{v_t} \tag{13}\)

對兩狀態點 (1 -> 2) 積分： \(\ln \frac{p_2}{p_1} = -\gamma_t \ln \frac{v_{t2}}{v_{t1}}\)

整理得 等熵關係式： \(\frac{p_2}{p_1} = \left( \frac{v_{t2}}{v_{t1}} \right)^{-\gamma_t} = \left( \frac{\rho_2}{\rho_1} \right)^{\gamma_t} \tag{14}\)

配合理想氣體方程式 $p_t = \rho_t R T_t$，可得溫度關係： \(\frac{p_2}{p_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\gamma_t/(\gamma_t - 1)} \tag{15}\)

這意味著在等熵流中，壓力與密度的關係為 $p_t/\rho_t^{\gamma_t} = \text{constant}$。

音速與馬赫數 (Speed of Sound & Mach Number)

音速是微小壓力波在介質中的傳遞速度。 假設聲波以速度 $a_t$ 向左傳播。為了方便分析，我們取聲波為參考坐標（觀察者隨波移動），此時氣體以相對速度 $a_t$ 向右流過聲波。 經過聲波後,氣體性質產生微小變化：$p_t \to p_t + dp_t$，$\rho_t \to \rho_t + d\rho_t$，速度 $a_t \to a_t + da_t$。

1. 利用連續方程式推導 根據質量守恆 $\rho_1 v_1 = \rho_2 v_2$： \(\rho_t a_t = (\rho_t + d\rho_t)(a_t + da_t)\)

展開並忽略極小項 $d\rho_t da_t$： \(\rho_t a_t = \rho_t a_t + a_t d\rho_t + \rho_t da_t\) \(0 = a_t d\rho_t + \rho_t da_t \Rightarrow a_t = -\rho_t \frac{da_t}{d\rho_t} \tag{16}\)

2. 結合尤拉方程式 引用流體力學尤拉方程式 $dp = -\rho v dv$，在此 $v = a_t$： \(dp_t = -\rho_t a_t da_t \Rightarrow da_t = -\frac{dp_t}{\rho_t a_t} \tag{17}\)

將 (17) 代回 (16)： \(a_t = -\rho_t \frac{1}{d\rho_t} \left( -\frac{dp_t}{\rho_t a_t} \right) = \frac{1}{a_t} \frac{dp_t}{d\rho_t}\)

整理得音速平方： \(a_t^2 = \frac{dp_t}{d\rho_t} \tag{18}\)

3. 代入等熵關係 聲波傳遞過程極快，無熱交換，視為等熵過程。 由 $p_t = c_t \rho_t^{\gamma_t}$ 微分可得： \(\frac{dp_t}{d\rho_t} = c_t \gamma_t \rho_t^{\gamma_t - 1} = \frac{p_t}{\rho_t^{\gamma_t}} \gamma_t \rho_t^{\gamma_t - 1} = \frac{\gamma_t p_t}{\rho_t}\)

代回音速公式： \(a_t = \sqrt{\frac{\gamma_t p_t}{\rho_t}} \tag{19}\)

利用理想氣體方程式 $p_t/\rho_t = R T_t$，得最終 音速公式： \(a_t = \sqrt{\gamma_t RT_t} \tag{20}\)

此式表明：在理想氣體中，音速僅與氣體溫度有關。

4. 馬赫數 (Mach Number) 定義馬赫數為流速 $v$ 與音速 $a_t$ 的比值： \({\rm{Ma}} = \frac{v}{a_t} \tag{21}\)

• 亞音速 (Subsonic)：${\rm{Ma}} < 1$ (如一般客機)
• 音速 (Sonic)：${\rm{Ma}} = 1$
• 超音速 (Supersonic)：${\rm{Ma}} > 1$ (如飛彈、戰鬥機，會產生震波 Shock Wave)

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. J. D. Anderson, Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
3. Y. A. Cengel and M. A. Boles, Thermodynamics: an Engineering Approach, 6th ed., McGraw-Hill, 2007.