空氣動力學03 因次分析(Pi Theorem)與雷諾數
前言
在流體力學與工程問題中，我們經常遇到變數過多，導致實驗難以設計或數據難以歸納的情況。例如：考慮一個穩流、不可壓縮的牛頓流體，通過一個管壁平滑的長形圓管，請問 每單位長度所造成的壓降 (pressure drop per unit length) 為多少？
這看似簡單的問題，卻牽涉到多個物理量。本篇將介紹 Buckingham Pi Theorem 因次分析理論，演示如何透過數學推導將複雜的多變數問題簡化，並由此推導出空氣動力學中極為重要的 雷諾數 (Reynolds number)。
圓管流體問題定義
首先定義實驗相關變數：
- $\ell_\pi$：圓管長度。
- $p_1$：管入口壓力。
- $p_2$：管出口壓力。
- $\Delta p_\ell$：單位長度的壓力差，定義為 $\Delta p_\ell = (p_1 - p_2)/\ell_\pi$，其因次單位為 $(N/m^2)/m$。
假設與之相關的參數包含：
- $d_\pi$：圓管直徑。
- $\rho$：流體密度。
- $\mu$：黏滯係數。
- $v_\pi$：平均流速。
因此，物理關係式可假設為：
\[\Delta p_\ell = f_\pi(d_\pi, \rho, \mu, v_\pi)\]若要進行實驗，為了有系統地觀察 $\Delta p_\ell$ 的變化，通常需要固定其他變數，一次只調變一個變數（例如流速）。但在實際操作上這非常困難，例如：如何調變流體密度 $\rho$ 卻保持黏度 $\mu$ 不變？變數太多也難以將所有實驗曲線整合成單一結論。這就是我們需要 因次分析 的原因。
Buckingham Pi Theorem (Pi 理論)
Buckingham Pi Theorem 描述如下：
若一有物理意義的方程式包含 $k_\pi$ 個變數且滿足因次均勻性 (dimensionally homogeneous)，則該式可以被簡化成由 $k_\pi - r_\pi$ 個 無因次變數 (dimensionless variables) 所組成的函數。
其中 $r_\pi$ 為最小可以代表所有變數的 參考因次數量 (reference dimension)。
以數學表示，若原方程式為：
\[u_1 = f_u(u_2, u_3, \dots, u_{k_\pi})\]經 Pi 理論簡化後可整理成：
\[\Pi_1 = \Phi(\Pi_2, \Pi_3, \dots, \Pi_{k_\pi - r_\pi})\]其中 $\Pi$ 即為無因次變數。
因次分析推導過程
回到上述的管線壓差問題：
\[\Delta p_\ell = f_\pi(d_\pi, \rho, \mu, v_\pi)\]1. 列出變數的因次
首先使用 FLT 系統 (Force, Length, Time) 列出所有變數的因次：
- $\Delta p_\ell \doteq (F L^{-2})/L = F L^{-3}$
- $d_\pi \doteq L$
- $\rho \doteq F L^{-4} T^2$ (註：由 $F=ma \Rightarrow M=FL^{-1}T^2$，故密度 $M/L^3$ 轉為此形式)
- $\mu \doteq F L^{-2} T$
- $v_\pi \doteq L T^{-1}$
2. 決定 Pi 項的數量
- 變數總數 $k_\pi = 5$ ($\Delta p_\ell, d_\pi, \rho, \mu, v_\pi$)。
- 參考因次使用了 $F, L, T$ 三種，故 $r_\pi = 3$。
- 無因次變數數量為 $k_\pi - r_\pi = 5 - 3 = 2$。 即最後的型式將為 $\Pi_1 = \Phi(\Pi_2)$。
3. 選擇重複變數 (Repeating Variables)
需選出 $r_\pi = 3$ 個重複變數，規則如下：
- 各重複變數之間必須 因次獨立 (不能組合成無因次數)。
- 盡量選擇因次簡單的變數。
我們選擇：
- $d_\pi \doteq L$ (幾何參數)
- $v_\pi \doteq L T^{-1}$ (運動參數)
- $\rho \doteq F L^{-4} T^2$ (流體性質)
這三個變數包含了 $F, L, T$ 且互相獨立。
4. 推導第一個 Pi 項 ($\Pi_1$)
從不在重複變數集合內的變數中挑選 $\Delta p_\ell$，與重複變數組合成無因次項：
\[\Pi_1 = \Delta p_\ell \cdot d_\pi^a \cdot v_\pi^b \cdot \rho^c\]將其因次代入，令總因次為 $F^0 L^0 T^0$：
\[(F L^{-3}) (L)^a (L T^{-1})^b (F L^{-4} T^2)^c = F^0 L^0 T^0\]整理各因次的指數聯立方程式：
- For F: $1 + c = 0$
- For L: $-3 + a + b - 4c = 0$
- For T: $-b + 2c = 0$
求解：
- 由 F 式得：$c = -1$
- 由 T 式得：$-b + 2(-1) = 0 \Rightarrow b = -2$
- 由 L 式得：$-3 + a + (-2) - 4(-1) = 0 \Rightarrow -5 + a + 4 = 0 \Rightarrow a = 1$
將 $a=1, b=-2, c=-1$ 代回 $\Pi_1$ 定義式：
\[\Pi_1 = \Delta p_\ell d_\pi^1 v_\pi^{-2} \rho^{-1} = \frac{\Delta p_\ell d_\pi}{\rho v_\pi^2}\]5. 推導第二個 Pi 項 ($\Pi_2$)
挑選剩下的變數 $\mu$ (黏度)，與重複變數組合：
\[\Pi_2 = \mu \cdot d_\pi^a \cdot v_\pi^b \cdot \rho^c\]將其因次代入：
\[(F L^{-2} T) (L)^a (L T^{-1})^b (F L^{-4} T^2)^c = F^0 L^0 T^0\]整理指數聯立方程式：
- For F: $1 + c = 0$
- For L: $-2 + a + b - 4c = 0$
- For T: $1 - b + 2c = 0$
求解：
- 由 F 式得：$c = -1$
- 由 T 式得：$1 - b + 2(-1) = 0 \Rightarrow b = -1$
- 由 L 式得：$-2 + a + (-1) - 4(-1) = 0 \Rightarrow -3 + a + 4 = 0 \Rightarrow a = -1$
將 $a=-1, b=-1, c=-1$ 代回 $\Pi_2$ 定義式：
\[\Pi_2 = \mu d_\pi^{-1} v_\pi^{-1} \rho^{-1} = \frac{\mu}{d_\pi v_\pi \rho}\]因次分析結果
根據 Pi Theorem，原方程式可簡化為：
\[\frac{\Delta p_\ell d_\pi}{\rho v_\pi^2} = \Phi \left( \frac{\mu}{d_\pi v_\pi \rho} \right)\]這表示我們成功將 5 個變數的關係，簡化為 2 個無因次變數的關係。實驗時，只需繪製這兩個無因次參數的曲線即可。
為了符合物理慣例，我們通常將 $\Pi_2$ 取倒數（無因次參數取倒數仍為無因次），整理得：
\[\frac{\Delta p_\ell d_\pi}{\rho v_\pi^2} = \tilde \Phi \left( \frac{\rho v_\pi d_\pi}{\mu} \right)\]
雷諾數 (Reynolds Number)
上式括號中的無因次項，即為流體力學中最著名的 雷諾數：
\[{\rm{Re}} = \frac{\rho v_\pi d_\pi}{\mu}\]一般式可寫為：
\[{\mathop{\rm Re}\nolimits} = \frac{\rho v_\pi \ell_r}{\mu}\]其中 $\ell_r$ 為參考長度（視問題而定，可為管徑、機翼弦長等）。
雷諾數的物理意義與應用： 雷諾數代表了流體慣性力與黏滯力的比值，是判斷流體動力學狀態類型 (types of fluid dynamics) 的重要指標：
- 層流 (Laminar flow)：通常發生在 ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \le 2100$。
- 亂流 (Turbulent flow)：通常發生在 ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \ge 4000$。
- 轉態區間 (Transition)：介於 $2100 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \le 4000$ 之間。
這個推導過程展示了如何透過數學工具，從基本的物理因次挖掘出深層的流體力學特性。
參考資料
- 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
- D. F. Young, B. R. Munson, T. H. Okiishi, and W. W. Huebsch, Introduction to Fluid Mechanics, 5th ed., Wiley, 2012.
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