空氣動力學02 流體性質與柏努利方程式(Bernoulli’s equation)完整推導

前言

在進入飛彈氣動力係數的探討前，必須先建立流體力學的基礎。柏努利方程式（Bernoulli’s equation） 是描述流體能量守恆的重要公式。本篇將根據牛頓第二運動定律，針對流體內微小粒子的受力（淨力）與加速度關係進行完整推導。

假設前提：

1. 無黏性流體（Inviscid flow）：忽略摩擦力。
2. 穩流（Steady flow）：流場不隨時間變化。
3. 受力來源：僅考慮壓力與重力。

流體粒子的運動學

考慮二維平面 $(x-z)$ 上的穩流，如圖所示。流體粒子順著路徑（流線）滑動。

• 切線方向（$\hat{s}$）：粒子速度 $\mathbf{v}_p$ 的方向。
• 法線方向（$\hat{n}$）：正交於流線的方向，指向曲率中心。

定義：

• $s_p = s_p(t)$：流體粒子沿流線的位移。
• $v_p = \partial s_p / \partial t$：沿著流線的切線速率。
• $r_p$：流線在該處的曲率半徑。

圖 1、(a)平面穩流示意圖 (b)流線坐標系定義

流體粒子的加速度 $\mathbf{a}_p = d\mathbf{v}_p/dt$ 可分解為 切線加速度 $a_s$ 與 向心加速度 $a_n$：

切線加速度：

\[a_s = \frac{d v_p}{dt} = \frac{\partial v_p}{\partial s_p}\frac{d s_p}{dt} = \frac{\partial v_p}{\partial s_p}v_p \tag{1}\]

向心加速度：

\[a_n = \frac{v_p^2}{r_p} \tag{2}\]

流體粒子的受力分析 (Free Body Diagram)

考慮一個微小的流體粒子（如圖 2），其尺寸為 $\delta s_p, \delta n_p, \delta y_p$。

• 重力 ($\delta w$)：方向向下 $\hat{g}$，可分解為切線分量 $\delta w_s$ 與法線分量 $\delta w_n$。
• 壓力 ($p$)：作用於粒子中心，前後左右表面存在壓力差。

圖 2、流體粒子自由體圖與受力分析

定義 $\delta p_s$ 與 $\delta p_n$ 為相對於中心壓力 $p$ 的壓力差。 例如在切線方向上：

• 前端受力：$(p + \delta p_s)\delta n_p \delta y_p$
• 後端受力：$(p - \delta p_s)\delta n_p \delta y_p$

第一部分：沿流線切線方向的推導

根據牛頓第二定律 $F=ma$，切線方向的合力 $\sum \delta F_s$ 等於質量乘以切線加速度：

\[\sum \delta F_s = \delta m a_s = \delta m \frac{\partial v_p}{\partial s_p} v_p = (\rho \delta \overline{V}) \frac{\partial v_p}{\partial s_p} v_p \tag{3}\]

其中 $\delta m = \rho \delta \overline{V}$ 為粒子質量，$\delta \overline{V}$ 為體積，$\rho$ 為密度。

合力來源： 切線合力 $\sum \delta F_s$ 由「重力分量 $\delta w_s$」與「壓力差 $\sum \delta F_{ps}$」組成：

\[\begin{aligned} \sum \delta F_s &= \delta w_s + \sum \delta F_{ps} \\ &= -\delta w \sin\theta_s + [(p - \delta p_s)\delta n_p \delta y_p - (p + \delta p_s)\delta n_p \delta y_p] \\ &= -\rho g \delta \overline{V} \sin\theta_s - 2\delta p_s \delta n_p \delta y_p \end{aligned} \tag{4}\]

其中 $\theta_s$ 為流線傾角。

壓力差的泰勒展開 (Taylor Expansion)

為了求得 $\delta p_s$ 的近似值，考慮 $p(s_p)$ 為 $s_p$ 的函數。壓力差定義為：

\[\delta p_s = p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) - p(s_p) \tag{5}\]

利用泰勒展開式在位置點 $a_p$ 展開 $p(s_p)$：

\[p(s_p) = p(a_p) + \frac{p'(a_p)}{1!}(s_p - a_p) + \frac{p''(a_p)}{2!}(s_p - a_p)^2 + \dots\]

設定展開點 $a_p$ 為粒子的前端點，即 $a_p = s_p + \delta s_p / 2$。取一階近似，則中心點 $s_p$ 的壓力可表示為：

\[\begin{aligned} p(s_p) &\approx p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) + p'(s_p + \frac{\delta s_p}{2})(s_p - (s_p + \frac{\delta s_p}{2})) \\ &\approx p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) + p'(s_p + \frac{\delta s_p}{2})(-\frac{\delta s_p}{2}) \end{aligned}\tag{6}\]

將式 (6) 代入式 (5) 整理，取得 $\delta p_s$ 的近似值：

\[\begin{aligned} \delta p_s &= p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) - p(s_p) \\ &\approx p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) - [p(s_p + \frac{\delta s_p}{2}) - p'(s_p + \frac{\delta s_p}{2})\frac{\delta s_p}{2}] \\ &\approx p'(s_p + \frac{\delta s_p}{2})\frac{\delta s_p}{2} \\ &\approx \frac{\partial p}{\partial s_p}\frac{\delta s_p}{2} \end{aligned}\tag{7}\]

推導微分方程式

將展開後的 $\delta p_s$ (7) 代回切線合力公式 (4)：

\[\begin{aligned} \sum \delta F_s &= -\rho g \delta \overline{V} \sin\theta_s - 2 \left( \frac{\partial p}{\partial s_p} \frac{\delta s_p}{2} \right) \delta n_p \delta y_p \\ &= -\rho g \delta \overline{V} \sin\theta_s - \frac{\partial p}{\partial s_p} (\delta s_p \delta n_p \delta y_p) \\ &= \left( -\rho g \sin\theta_s - \frac{\partial p}{\partial s_p} \right) \delta \overline{V} \end{aligned}\tag{8}\]

將式 (8) 代入牛頓第二定律式 (3)，並同除以 $\delta \overline{V}$：

\[\rho v_p \frac{\partial v_p}{\partial s_p} = -\rho g \sin\theta_s - \frac{\partial p}{\partial s_p}\]

移項整理得：

\[\frac{\partial p}{\partial s_p} + \rho v_p \frac{\partial v_p}{\partial s_p} + \rho g \sin\theta_s = 0 \tag{9}\]

利用微積分性質 (Power rule and Chain rule)，速度項可改寫為：

\[v_p \frac{\partial v_p}{\partial s_p} = \frac{1}{2} \frac{d(v_p^2)}{ds_p} \tag{10}\]

且幾何關係顯示 $\sin\theta_s = dz_1 / ds_p$：

\[\frac{\partial p}{\partial s_p} + \rho \frac{1}{2} \frac{d(v_p^2)}{d s_p} + \rho g \frac{dz_1}{ds_p} = 0\]

將偏微分與微分符號統一寫作 $d$，並將等號兩邊同乘 $ds_p$，可得全微分形式：

\[dp + \frac{1}{2}\rho d(v_p^2) + \rho g dz_1 = 0\]

對上式進行積分，即得到著名的 柏努利方程式 (Bernoulli’s equation)：

\[p + \frac{1}{2}\rho v_p^2 + \rho g z_1 = \text{constant along streamline} \tag{11}\]

此式表明：在穩流、不可壓縮、無黏滯的流線上，壓力、動能壓 ($\frac{1}{2}\rho v^2$) 與位能壓 ($\rho gz$) 的總和為定值。

流體力學的尤拉方程式 (Euler’s Equation)

若忽略重力影響 ($\delta w = 0$)，則切線方向的合力 (8) 簡化為：

\[\sum \delta F_s = - \frac{\partial p}{\partial s_p} \delta s_p \delta n_p \delta y_p = - \frac{\partial p}{\partial s_p} \delta \overline{V} \tag{12}\]

代回 $F=ma$ 公式 (3)：

\[-\frac{\partial p}{\partial s_p} \delta \overline{V} = \rho \delta \overline{V} \frac{\partial v_p}{\partial s_p} v_p\]

消去體積並整理微分符號，可得 尤拉方程式：

\[dp = -\rho v_p dv_p \tag{13}\]

此方程式適用於可壓縮流體。

第二部分：沿流線法線方向的推導

除了切線方向，我們也可以探討正交於流線的法線方向。 法線合力提供向心力：

\[\sum \delta F_n = \delta m a_n = \rho \delta \overline{V} \frac{v_p^2}{r_p} \tag{14}\]

同樣考慮重力分量與法線方向的壓力梯度（推導邏輯同切線方向），法線合力可表示為：

\[\sum \delta F_n = \delta w_n + \sum \delta F_{pn} = \left( -\rho g \cos\theta_s - \frac{\partial p}{\partial n_p} \right) \delta \overline{V} \tag{15}\]

比較 (14) 與 (15) 兩式，並利用幾何關係 $\cos\theta_s = dz_2 / dn_p$：

\[-\rho g \frac{dz_2}{dn_p} - \frac{\partial p}{\partial n_p} = \rho \frac{v_p^2}{r_p}\]

對 $n_p$ 積分，可得跨越流線 (across the streamline) 的關係式：

\[p + \rho \int \frac{v_p^2}{r_p} dn_p + \rho g z_2 = \text{constant}\]

這說明了壓力在彎曲流線的法線方向上是如何變化的（離心力效應造成外側壓力較大）。

參考資料

1. 林昱廷，飛彈姿態運動之適應控制研究，碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
2. D. F. Young, B. R. Munson, T. H. Okiishi, and W. W. Huebsch, Introduction to Fluid Mechanics, 5th ed., Wiley, 2012.
3. J. Stewart, Essential Calculus, 2nd ed., Cengage Learning, 2012.