四元數基礎02 四元數加減乘除

四元數加減

四元數加減法的概念和複數相同，只需要將對應的係數加減即可。
假設兩個四元數 $\mathbf{q}_a$ 和 $\mathbf{q}_b$ 如下：

\[\mathbf{q}_a = q_{a0} + q_{a1}\mathbf{i} + q_{a2}\mathbf{j} + q_{a3}\mathbf{k}\] \[\mathbf{q}_b = q_{b0} + q_{b1}\mathbf{i} + q_{b2}\mathbf{j} + q_{b3}\mathbf{k}\]

則其加減法為：

\[\mathbf{q}_a \pm \mathbf{q}_b = (q_{a0} \pm q_{b0}) + (q_{a1} \pm q_{b1})\mathbf{i} + (q_{a2} \pm q_{b2})\mathbf{j} + (q_{a3} \pm q_{b3})\mathbf{k}\]

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四元數乘法

四元數與實數的乘法與複數相似。
設 $a$ 為一任意實數，則有：

\[a\mathbf{q} = aq_0 + aq_1\mathbf{i} + aq_2\mathbf{j} + aq_3\mathbf{k} \tag{1}\]

而兩個四元數相乘時，需要特別注意虛數單位之間的乘法關係：

\[\left\{ \begin{array}{ccc} \mathbf{i}\mathbf{i}=-1 & \mathbf{j}\mathbf{j}=-1 & \mathbf{k}\mathbf{k}=-1 \\ \mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k} & \mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i} & \mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j} \\ \mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k} & \mathbf{k}\mathbf{j}=-\mathbf{i} & \mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j} \end{array} \right.\]

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四元數乘法展開

\[\begin{aligned} \mathbf{q}_a \times \mathbf{q}_b &= (q_{a0}+q_{a1}\mathbf{i}+q_{a2}\mathbf{j}+q_{a3}\mathbf{k}) (q_{b0}+q_{b1}\mathbf{i}+q_{b2}\mathbf{j}+q_{b3}\mathbf{k}) \\ &= (q_{a0}q_{b0}-q_{a1}q_{b1}-q_{a2}q_{b2}-q_{a3}q_{b3}) \\ &\quad +(q_{a0}q_{b1}+q_{a1}q_{b0}+q_{a2}q_{b3}-q_{a3}q_{b2})\mathbf{i} \\ &\quad +(q_{a0}q_{b2}+q_{a2}q_{b0}+q_{a3}q_{b1}-q_{a1}q_{b3})\mathbf{j} \\ &\quad +(q_{a0}q_{b3}+q_{a3}q_{b0}+q_{a1}q_{b2}-q_{a2}q_{b1})\mathbf{k} \\ &= q_{ab0}+q_{ab1}\mathbf{i}+q_{ab2}\mathbf{j}+q_{ab3}\mathbf{k} \end{aligned}\]

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四元數乘法的矩陣形式

\[\mathbf{q}_a \times \mathbf{q}_b = \mathbf{M}(\mathbf{q}_a)\mathbf{q}_b \tag{2}\] \[\mathbf{M}(\mathbf{q}_a)= \begin{bmatrix} q_{a0} & -q_{a1} & -q_{a2} & -q_{a3} \\ q_{a1} & q_{a0} & -q_{a3} & q_{a2} \\ q_{a2} & q_{a3} & q_{a0} & -q_{a1} \\ q_{a3} & -q_{a2} & q_{a1} & q_{a0} \end{bmatrix}\]

亦可寫成：

\[\mathbf{q}_a \times \mathbf{q}_b = \mathbf{M'}(\mathbf{q}_b)\mathbf{q}_a \tag{3}\]

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乘法矩陣核心結構

定義：

\[\mathbf{V}(\mathbf{q}_a) = [\bar{\mathbf{q}}_a \times] + q_{a0}\mathbf{I}\]

其中 $[\bar{\mathbf{q}}_a \times]$ 為反對稱矩陣（skew-symmetric matrix）。

同理：

\[\mathbf{V'}(\mathbf{q}_b) = [\bar{\mathbf{q}}_b \times]^T + q_{b0}\mathbf{I}\]

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四元數乘法性質

由於乘法矩陣配置不同，因此：

\[\mathbf{q}_a \times \mathbf{q}_b \neq \mathbf{q}_b \times \mathbf{q}_a\]

四元數乘法 不滿足交換律，但滿足：

• 分配律
• 結合律

\[\mathbf{q}_a (\mathbf{q}_b+\mathbf{q}_c) = \mathbf{q}_a\mathbf{q}_b+\mathbf{q}_a\mathbf{q}_c\] \[(\mathbf{q}_a\mathbf{q}_b)\mathbf{q}_c = \mathbf{q}_a(\mathbf{q}_b\mathbf{q}_c)\] \[(\mathbf{q}_a\mathbf{q}_b)^\ast = \mathbf{q}_a^\ast \mathbf{q}_b^\ast\]

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四元數除法

若除數與被除數皆為四元數，需定義反四元數（inverse quaternion）。

根據定義：

\[\mathbf{q}\mathbf{q}^\ast = \lVert \mathbf{q} \rVert^2\]

因此反四元數為：

\[\mathbf{q}^{-1} = \dfrac{\mathbf{q}^\ast}{\lVert \mathbf{q} \rVert^2}\]

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參考資料

1. 線代啟示錄，
   四元數，網路資源，2014。

2. 秦永元，《慣性導航》，科學出版社，2006。

3. 林昱廷，
   飛彈姿態運動之適應控制研究，
   碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。