四元數基礎01 四元數定義與形式

複數回顧

複數 $a + bi$ 是由實數 $a$ 加上實數 $b$ 乘以虛數（imaginary number）單位 $i$ 組成，其 $i$ 具有 $i^2 = -1$ 的性質。
$a, b$ 兩實數分別稱為複數之實部與虛部，可以用二維的座標表示之，如圖 1 所示。

其被稱為二維複平面（complex plane），其中 $a + bi$ 的共軛複數（conjugation）為 $a - bi$，即虛部正負號相反的一個數。

圖 1、complex plane

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四元數形式

四元數（quaternion）是複數的延伸，由一個實數加上三個虛部
$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 組成，一般表示如下：

\[\mathbf{q}(q_0, q_1, q_2, q_3) = q_0 + q_1\mathbf{i} + q_2\mathbf{j} + q_3\mathbf{k} \tag{1}\]

其中 $\mathbf{q}$ 為四元數，$q_0, q_1, q_2, q_3$ 為實數。
$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 為正交的單位向量，也稱為四元數基本單位（fundamental quaternion units），同時也是虛數單位。

其元素之間具有以下性質：

\[\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{ijk} = -1\]

各虛數單位之間的乘法關係如下：

\[\left\{ \begin{array}{ccc} \mathbf{i}\mathbf{i}=-1 & \mathbf{j}\mathbf{j}=-1 & \mathbf{k}\mathbf{k}=-1 \\ \mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k} & \mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i} & \mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j} \\ \mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k} & \mathbf{k}\mathbf{j}=-\mathbf{i} & \mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j} \end{array} \right.\]

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四元數的表示方式

一般複數形式與式 (1) 相同：

\[\mathbf{q} = q_0 + q_1\mathbf{i} + q_2\mathbf{j} + q_3\mathbf{k}\]

其共軛四元數 $\mathbf{q}^\ast$ 定義如下：

\[\mathbf{q}^\ast = q_0 - q_1\mathbf{i} - q_2\mathbf{j} - q_3\mathbf{k}\]

若將四元數視為「一個純量 + 一個三維向量」，可寫成：

\[\mathbf{q} = q_0 + \bar{\mathbf{q}}\]

其中 $q_0$ 為純量部分，
$\bar{\mathbf{q}} = [q_1, q_2, q_3]^T$ 為三維向量部分。

也可將四元數視為四維向量：

\[\mathbf{q} = [q_0, q_1, q_2, q_3]^T\]

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四元數的範數（Norm）

利用四維向量形式，可以定義四元數的大小：

\[\lVert \mathbf{q} \rVert = \sqrt{q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}\]

因此可將 $\mathbf{q}$ 寫成：

\[\mathbf{q} = \lVert \mathbf{q} \rVert \mathbf{q}_{unit} \quad \text{or} \quad \mathbf{q}_{unit} = \dfrac{\mathbf{q}}{\lVert \mathbf{q} \rVert}\]

其中 $\mathbf{q}{unit}$ 為單位四元數（unit quaternion），
具有 $\lVert \mathbf{q}{unit} \rVert = 1$ 的性質，也稱為正規化四元數（normalized quaternion）。

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單位四元數的其他表示

尤拉參數式（Euler parameters）

\[\mathbf{q} = \cos \dfrac{\phi}{2} + \mathbf{u} \sin \dfrac{\phi}{2} = \cos \theta + \mathbf{u} \sin \theta\]

其中 $\phi = 2\theta$，$\mathbf{u}$ 為三維空間中的單位向量。
此形式可用來表示剛體在空間中的姿態。

指數式

\[\mathbf{q} = e^{\mathbf{u}\theta}\]

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參考資料

1. 線代啟示錄，
   四元數，網路資源，2014。

2. 秦永元，《慣性導航》，科學出版社，2006。

3. 林昱廷，
   飛彈姿態運動之適應控制研究，
   碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。