剛體姿態運動學07 尤拉角微分方程(Differential Equation For Euler Angles)

尤拉角微分方程

尤拉角微分方程是探討剛體在三維空間中，其體軸角速度與尤拉角姿態之間的關係。本篇將會詳細推導該微分方程。上一篇提到尤拉角的定義以及它的特性，其 Intrinsic Rotation 在不同順序上會有不同種形式。本節以
$Z_0 - Y_0 - X_0$ 順序為例，也就是
${\bf R}(\varphi_x){\bf R}(\varphi_y){\bf R}(\varphi_z)$
的相乘順序。

\[{\bf R}(\varphi_x){\bf R}(\varphi_y){\bf R}(\varphi_z) = {\bf R}({\bf i}_2,\varphi_x)\, {\bf R}({\bf j}_1,\varphi_y)\, {\bf R}({\bf k}_0,\varphi_z)\]

已知體軸角速度
\({\boldsymbol{\omega}}_b = [\omega_{bx},\omega_{by},\omega_{bz}]^T\)

首先定義在體軸座標 $R_b$ 下的體軸單位向量 ${\bf i}_{bb}$、${\bf j}_{bb}$ 和 ${\bf k}_{bb}$，體軸角速度可寫成

\[{\boldsymbol{\omega}}_b = \omega_{bx}{\bf i}_{bb} + \omega_{by}{\bf j}_{bb} + \omega_{bz}{\bf k}_{bb}\]

由上式可知體軸單位向量彼此正交。
將尤拉角寫成向量形式

\[{\boldsymbol{\varphi}} = [\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z]^T\]

其微分為

\[\dot{\boldsymbol{\varphi}} = [\dot\varphi_x,\dot\varphi_y,\dot\varphi_z]^T\]

尤拉角速度與尤拉角平行，因此

\[\dot{\boldsymbol{\varphi}} = \dot\varphi_x{\bf i}_2 + \dot\varphi_y{\bf j}_1 + \dot\varphi_z{\bf k}_0 \qquad (1)\]

由於尤拉角在每次旋轉時都會產生新的固定座標系（如 $R_1$、$R_2$）， 其單位向量 ${\bf i}_2$、${\bf j}_1$、${\bf k}_0$ 並不互相正交， 因此需透過座標轉換將其轉換至體軸座標。

在 $Z_0 - Y_0 - X_0$ 順序下，最後一軸 $X_0$ 的旋轉軸 與體軸 ${\bf i}_{bb}$ 一致，因此

\[{\bf i}_{bb} = {\bf i}_2\]

倒數第二軸的關係為

\[{\bf j}_1 = {\bf R}(\varphi_x){\bf j}_{bb}\]

移項得

\[{\bf j}_{bb} = {\bf R}^T(\varphi_x){\bf j}_1\]

倒數第三軸的關係為

\[{\bf k}_0 = {\bf R}(\varphi_y){\bf R}(\varphi_x){\bf k}_{bb}\]

移項得

\[{\bf k}_{bb} = {\bf R}^T(\varphi_x){\bf R}^T(\varphi_y){\bf k}_0\]

代入式 (1)，可得體軸角速度

\[{\boldsymbol{\omega}}_b = \dot\varphi_x{\bf i}_2 + {\bf R}^T(\varphi_x)\dot\varphi_y{\bf j}_1 + {\bf R}^T(\varphi_x){\bf R}^T(\varphi_y)\dot\varphi_z{\bf k}_0\]

其中

\[{\bf i}_2=[1,0,0]^T,\quad {\bf j}_1=[0,1,0]^T,\quad {\bf k}_0=[0,0,1]^T\]

展開後可得

\[{\boldsymbol{\omega}}_b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\sin\varphi_y \\ 0 & \cos\varphi_x & \sin\varphi_x\cos\varphi_y \\ 0 & -\sin\varphi_x & \cos\varphi_x\cos\varphi_y \end{bmatrix} \dot{\boldsymbol{\varphi}}\]

定義上式矩陣為尤拉角微分方程系統矩陣 ${\bf E}$，

\[{\boldsymbol{\omega}}_b = {\bf E}\dot{\boldsymbol{\varphi}}\]

其反矩陣為

\[\dot{\boldsymbol{\varphi}} = {\bf E}^{-1}{\boldsymbol{\omega}}_b\]

即

\[\begin{bmatrix} \dot\varphi_x \\ \dot\varphi_y \\ \dot\varphi_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \sin\varphi_x\tan\varphi_y & \cos\varphi_x\tan\varphi_y \\ 0 & \cos\varphi_x & -\sin\varphi_x \\ 0 & \sin\varphi_x & \cos\varphi_x\sec\varphi_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_{bx} \\ \omega_{by} \\ \omega_{bz} \end{bmatrix}\]

至此即可得到 $Z_0 - Y_0 - X_0$ 順序下， 尤拉角速度與體軸角速度之間的關係式。 其他旋轉順序可依相同步驟推導。

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參考資料

• 林昱廷，《飛彈姿態運動之適應控制研究》，
  碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。