剛體姿態運動學05 姿態四元數的微分方程推導(Quaternion Differential Equations)

連續旋轉與角速度的關係

首先，簡單回顧之前推導的羅德里格旋轉公式（Rodrigues’ rotation formula），其功能在於：給定一個自由向量 $\boldsymbol{\rho}_1$，以及轉動軸 $\mathbf{u}$ 和角度 $\phi$，可以求得旋轉後的新向量 $\boldsymbol{\rho}_2$：

\[\boldsymbol{\rho}_2 = (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} (1-\cos\phi) + \cos\phi\,\boldsymbol{\rho}_1 + \sin\phi\,\mathbf{u}\times\boldsymbol{\rho}_1\]

為了求得角速度與旋轉的微分關係，可將每次旋轉切分為無窮小。定義 $\Delta\phi$ 為無窮小旋轉，利用近似：

\[\sin \Delta\phi \approx \Delta\phi, \quad \cos \Delta\phi \approx 1\]

可將羅德里格旋轉公式改寫為：

\[\begin{eqnarray*} \boldsymbol{\rho}_2 &=& \lim_{\Delta\phi \to 0} \Big[ (\boldsymbol{\rho}_1\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}(1-\cos\Delta\phi) + \cos\Delta\phi\,\boldsymbol{\rho}_1 + \sin\Delta\phi\,\mathbf{u}\times\boldsymbol{\rho}_1 \Big] \\ &=& \boldsymbol{\rho}_1 + \Delta\phi\,\mathbf{u}\times\boldsymbol{\rho}_1 \end{eqnarray*}\]

因此可得速度：

\[\dot{\boldsymbol{\rho}}_1 \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{\rho}_2 - \boldsymbol{\rho}_1}{\Delta t} = \dot\phi\,\mathbf{u}\times\boldsymbol{\rho}_1\]

定義絕對角速度：

\[\boldsymbol{\omega}_0 = \dot\phi\,\mathbf{u}\]

則：

\[\dot{\boldsymbol{\rho}}_1 = \boldsymbol{\omega}_0 \times \boldsymbol{\rho}_1 \qquad (1)\]

此為三維剛體連續運動學的重要基本式。需注意，$\boldsymbol{\omega}_0$ 是以慣性座標系 $R_0$ 定義的角速度，需與後續體軸角速度 $\boldsymbol{\omega}_b$ 區分。

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四元數的微分方程（Quaternion Differential Equations）

本節介紹姿態四元數與體軸角速度 $\boldsymbol{\omega}_b$ 的關係，以飛彈作為剛體範例。體軸角速度可由飛彈內部陀螺儀量測，本節將推導四元數的微分方程，以利後續控制器設計。

上一節得到姿態四元數：

\[\mathbf{q} = \cos\theta + \mathbf{u}_0\sin\theta\]

其中 $\mathbf{u}_0$ 為 $R_0$ 中的旋轉軸（與 $R_b$ 中的 $\mathbf{u}_b$ 為同一向量，不同座標表示）。

對時間取導數：

\[\begin{eqnarray*} \frac{d\mathbf{q}}{dt} &=& -\dot\theta\sin\theta + \mathbf{u}_0\dot\theta\cos\theta + \sin\theta\frac{d\mathbf{u}_0}{dt} \end{eqnarray*} \qquad (2)\]

空間向量微分可拆為大小變化與方向變化。若 $R_b$ 以角速度 $\boldsymbol{\Omega}$ 相對 $R_0$ 旋轉，則任一向量 $\mathbf{z}$ 有：

\[\dot{\mathbf{z}}_0 = \dot{\mathbf{z}}_b + \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{z}_b \qquad (3)\]

因此：

\[\dot{\mathbf{u}}_0 = \dot{\mathbf{u}}_b + \boldsymbol{\omega}_b\times\mathbf{u}_b\]

由於 $\mathbf{u}_b$ 為體軸旋轉軸，在 $R_b$ 中固定不變，故 $\dot{\mathbf{u}}_b = 0$，得：

\[\dot{\mathbf{u}}_0 = \boldsymbol{\omega}_b\times\mathbf{u}_b\]

又由 $\boldsymbol{\omega}_b = \dot\phi\,\mathbf{u}_b$，可得：

\[\dot{\mathbf{u}}_0 = \dot\phi\,\mathbf{u}_b\times\mathbf{u}_b = 0\]

代回 $(2)$ 式：

\[\frac{d\mathbf{q}}{dt} = -\dot\theta\sin\theta + \mathbf{u}_0\dot\theta\cos\theta \qquad (4)\]

注意以下四元數乘法（$\times$ 為四元數乘法而非向量外積）：

\[\dot\theta\,\mathbf{u}_0 \times \mathbf{q} = -\dot\theta\sin\theta + \mathbf{u}_0\dot\theta\cos\theta\]

因此：

\[\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \dot\theta\,\mathbf{u}_0 \times \mathbf{q}\]

由絕對角速度定義：

\[\boldsymbol{\omega}_0 = 2\dot\theta\,\mathbf{u}_0\]

可得：

\[\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}_0 \times \mathbf{q} \qquad (5)\]

又由四元數旋轉關係：

\[\boldsymbol{\omega}_0 = \mathbf{q}\times\boldsymbol{\omega}_b\times\mathbf{q}^*\]

利用單位四元數性質與結合律：

\[\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \frac{1}{2}\mathbf{q}\times\boldsymbol{\omega}_b\]

其矩陣形式為：

\[\begin{eqnarray*} \frac{d\mathbf{q}}{dt} &=& \frac{1}{2}\mathbf{M}'(\boldsymbol{\omega}_b)\mathbf{q} \end{eqnarray*}\]

或寫為：

\[\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \mathbf{Q}(\mathbf{q})\boldsymbol{\omega}_b\]

此為剛體姿態四元數的微分方程，可應用於飛彈、無人機、火箭與飛機之姿態控制設計。

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圖示

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參考資料

R. C. Hibbeler and K. B. Yap,
Engineering Mechanics: Dynamics, 14th ed., 2017.

林昱廷，
飛彈姿態運動之適應控制研究，
碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。