剛體姿態運動學02 羅德里格旋轉公式推導(Rodrigues’ Rotation Formula)

羅德里格公式（Rodrigues’ Rotation Formula）

以下內容將使用前一章定義的座標系 $R_0$ 與 $R_b$。

考慮世界座標 $R_0$ 中某一自由向量 $\boldsymbol{\rho}_1$（圖 1），其以向量末端為中心，繞另一單位向量 $\mathbf{u}$ 旋轉至 $\boldsymbol{\rho}_2$。因此，$\boldsymbol{\rho}_1$ 與 $\boldsymbol{\rho}_2$ 的前端必位於某一垂直於 $\mathbf{u}$ 的平面上。

定義：

• $\mathbf{r}_1$：該平面上，由 $\mathbf{u}$ 上某點指向 $\boldsymbol{\rho}_1$ 前端的向量
• $\mathbf{r}_2$：該平面上，由同一點指向 $\boldsymbol{\rho}_2$ 前端的向量

兩向量間夾角為 $\phi$。
若已知 $\boldsymbol{\rho}_1$、$\mathbf{u}$ 與 $\phi$，即可透過羅德里格旋轉公式（Rodrigues’ rotation formula）求得 $\boldsymbol{\rho}_2$。

圖1、$\boldsymbol{\rho}_1$ 在端點上的旋轉

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向量關係推導

由向量關係可得：

\[\boldsymbol{\rho}_2 = (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} + \mathbf{r}_2 \tag{1}\]

其中 $\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u}$ 為 $\boldsymbol{\rho}_1$ 在 $\mathbf{u}$ 方向上的投影，其方向與 $\mathbf{u}$ 相同，大小為 $\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u}$。

由圖 2 的 A 視角，可得 $\mathbf{r}_2$ 為：

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_2 &= (|\mathbf{r}_2|\cos\phi)\frac{\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_1|} + (|\mathbf{r}_2|\sin\phi)\left(\mathbf{u}\times\frac{\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_1|}\right) \\ &= \cos\phi\,\mathbf{r}_1 + \sin\phi(\mathbf{u}\times\mathbf{r}_1) \qquad \because |\mathbf{r}_2| = |\mathbf{r}_1| \end{aligned} \tag{2}\]

圖2、A 視角，用於計算 $\mathbf{r}_2$

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由圖 3 的 B 視角可推得：

\[\mathbf{r}_1 = \boldsymbol{\rho}_1 - (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} \tag{3}\]

將式 (2)、(3) 代入式 (1)，整理得：

\[\begin{aligned} \boldsymbol{\rho}_2 &= (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} + \cos\phi[\boldsymbol{\rho}_1 - (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}] + \sin\phi\{\mathbf{u}\times[\boldsymbol{\rho}_1 - (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}]\} \\ &= (\boldsymbol{\rho}_1 \cdot \mathbf{u})(1-\cos\phi)\mathbf{u} + \cos\phi\,\boldsymbol{\rho}_1 + \sin\phi\,(\mathbf{u}\times\boldsymbol{\rho}_1) \end{aligned}\]

此即著名的羅德里格旋轉公式（Rodrigues’ rotation formula）。
由此可知，當 $\boldsymbol{\rho}_1$ 已知時，只需給定旋轉軸 $\mathbf{u}$ 與旋轉角 $\phi$，即可完全定義 $\boldsymbol{\rho}_2$ 的姿態。

圖3、B 視角，用於計算 $\mathbf{r}_1$

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小結

羅德里格旋轉公式是三維空間運動學中極為重要的基礎。許多常見的計算方法皆由此衍生，包括：

• 尤拉角（Euler angles）
• 旋轉矩陣（Rotation matrix）
• 座標轉換
• 姿態四元數（Quaternions）

本系列文章將以羅德里格旋轉公式為起點，逐步推導剛體姿態運動學中各種重要的計算與應用。

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參考資料

1. 林昱廷，
   飛彈姿態運動之適應控制研究，
   碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。