剛體姿態運動學01 自由向量與坐標定義
前言
在三維空間中運動的剛體有許多實際應用的例子，例如飛行中的飛彈、無人機、飛機、火箭等等。本系列文章皆以飛彈為例，其在空間中的姿態運動學推導，可以先由內部的向量著手。
剛體內的自由向量
剛體的性質為內部任意兩點距離為一常數，因此可以由此兩點定義出一個大小不變的向量
$\mathbf{a} \in \mathbb{R}$。
在歐幾里德空間（Euclidean space）中，具有恆定大小且方向獨立於座標系統的向量，稱為自由向量（free vector）。
在座標轉換的過程中，難免造成某些向量的改變，為了避免影響到 $\mathbf{a}$ 的大小，特將其定義為自由向量，用以表示整體剛體的姿態。
例如在圖 1 中的自由向量 $\mathbf{a}$：
- 座標 $(X,Y,Z)$ 為初始參考座標
- 座標 $(X’,Y’,Z’)$ 與 $(X,Y,Z)$ 相同，但經過平移
- 座標 $(X’‘,Y’‘,Z’’)$ 與 $(X,Y,Z)$ 相同，但經過旋轉
無論使用何種座標來觀察向量 $\mathbf{a}$，其大小皆保持不變。
圖1、以不同的座標看自由向量 $\mathbf{a}$
座標系定義
假設飛彈下方地面的位置不會變化，可在此設置一個世界座標系（world coordinate） $R_0$ 作為固定參考座標系，如圖 2 所示。
- 原點：$O_0$
- 座標軸：$(X_0, Y_0, Z_0)$
- 對應單位向量：$\mathbf{i}_0$、$\mathbf{j}_0$、$\mathbf{k}_0$
在 $R_0$ 座標空間中，假設描述飛彈姿態的自由向量為
$\boldsymbol{\rho} \in \mathbb{R}$。
接著，在飛彈彈體上定義一個彈體座標系（body coordinate） $R_b$，其會隨著飛彈運動而一同旋轉與平移：
- 原點：$O_b$（暫定為質心）
- 原點位置（相對於 $R_0$）：$(x,y,z)$
- 該點同時為向量 $\boldsymbol{\rho}$ 的後端點
- 座標軸：$(X_b, Y_b, Z_b)$
- 單位向量：$\mathbf{i}_b$、$\mathbf{j}_b$、$\mathbf{k}_b$
其中，彈頭方向定義為 $X_b$，且與描述飛彈姿態的自由向量 $\boldsymbol{\rho}$ 同方向。
圖2、世界座標與剛體座標的關係
參考資料
- 林昱廷，
飛彈姿態運動之適應控制研究，
碩士論文，機械工程學系，國立臺灣科技大學，2021。
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